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<!DOCTYPE html>

<title>Angles d'Euler</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Angles d'Euler</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr">En <a href="M%C3%A9canique_(science)" title="Mécanique (science)">mécanique</a> et en <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, les angles d'Euler sont les trois <a href="Angle" title="Angle">angles</a> qui donnent l'orientation d'un <a href="Mod%C3%A8le_du_solide_ind%C3%A9formable" title="Modèle du solide indéformable">solide</a> par rapport à un <a href="Tri%C3%A8dre" title="Trièdre">trièdre</a> cartésien de références.v.</abbr>''angles_d'Euler_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-TailletVillainFebvre201830''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''angles_d'Euler-1">[1]</a>. Ils sont introduits par <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> (<a href="1707_en_science" title="1707 en science">1707</a>-<a href="1783_en_science" title="1783 en science">1783</a>). Ils sont appelés, respectivement, angle de <a href="Pr%C3%A9cession" title="Précession">précession</a>, de <a href="Nutation" title="Nutation">nutation</a> et de rotation propre<span_class="romain"_style="text-transform:lowercase;_font-variant:normal;">xxi</abbr>_et_275_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Pérez2014<abbr_class="abbr_"_title="21"_><span_class="romain"_style="text-transform:lowercase;_font-variant:normal;">xxi</abbr>_et_275-2">[2]</a>,s.v.</abbr>''angles_d'Euler_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-TailletVillainFebvre201830''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''angles_d'Euler-1">[1]</a>, les deux premiers pouvant être vus comme une généralisation des deux angles des <a href="Coordonn%C3%A9es_sph%C3%A9riques" title="Coordonnées sphériques">coordonnées sphériques</a>.

Le mouvement d'un solide est la variation temporelle de sa position par rapport à un référentiel. Il peut être décrit en donnant la variation temporelle de six nombres scalaires, qui mesurent à la fois la position d'un de ses points (par exemple, son <a href="Centre_de_masse" class="mw-redirect" title="Centre de masse">centre de masse</a>) et l'orientation de ce solide : les trois angles d'Euler, <abbr class="abbr" title="confer (reportez-vous à/comparez avec)">cf.</abbr> schémas ci-dessous.

Les angles d'Euler peuvent aussi servir à représenter l'<a href="Orientation_dans_l'espace" title="Orientation dans l'espace">orientation</a> d'un solide par rapport à un repère (appelée aussi <a href="Attitude_(astronautique)" class="mw-redirect" title="Attitude (astronautique)">attitude</a> en astronautique).

<div class="gallerytext">Angles d'Euler ψ, θ et φ. Le référentiel fixe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Oxyz}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Oxyz}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be27c2ad2be5d640cfc2a530df87d9b7b4ebf615.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.347ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Oxyz}" loading="lazy"> est indiqué en noir, le référentiel mobile <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ox'y'z'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ox'y'z'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71746309c2b419fd19cc5f94603fd7118f0628ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.408ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Ox'y'z'}" loading="lazy">en rouge et la ligne des nœuds <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ou}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ou}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/724ba95bd28736236bd6589162c06618d2f4b503.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.103ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Ou}" loading="lazy"> en bleu.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Autre représentation.</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notations_et_étymologies">Notations et étymologies</h2></div>

Les trois angles d'Euler, de précession, de nutation et de rotation propre (ou de giration), sont couramment notés respectivement ψ, θ et φ.

Le mot précession vient du latin praecessio (« action de précéder ») ; cela provient de son utilisation en astronomie dans l'expression « <a href="Pr%C3%A9cession_des_%C3%A9quinoxes" title="Précession des équinoxes">précession des équinoxes</a> ».

Le mot nutation vient du latin nutatio (« action de pencher la tête ») et est aussi utilisé en botanique pour signifier l'habitude qu’ont certaines plantes de pencher leurs fleurs<a href="#cite_note-3">[3]</a>.

Le mot rotation vient du latin rotatio avec la même signification et le mot giration vient du latin gyratum, lui-même issu du grec gûros (« cercle »).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemple_de_la_toupie">Exemple de la toupie</h2></div>

Dans l'exemple du mouvement de la toupie ci-contre, l'angle de nutation θ mesure l'obliquité de l'axe par rapport à la verticale, l'angle de précession ψ mesure la rotation de l'axe de la toupie autour de Oz, et l'angle de rotation propre φ mesure bien la rotation de la toupie sur elle-même.

On voit dans cet exemple que l'angle de précession ψ est égal à la longitude augmentée d'un angle droit et l'angle de nutation θ est égal à la colatitude dans les <a href="Coordonn%C3%A9es_sph%C3%A9riques" title="Coordonnées sphériques">coordonnées sphériques</a> de l'axe Oz' dans Oxyz.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rotations_d'Euler">Rotations d'Euler</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Changement_de_référentiel">Changement de référentiel</h3></div>

Les trois rotations obtenues en modifiant un des trois angles d'Euler et en gardant les deux autres constants sont la <a href="Pr%C3%A9cession" title="Précession">précession</a>, la <a href="Nutation" title="Nutation">nutation</a> et la rotation propre. On passe du référentiel fixe Oxyz au référentiel lié au solide Ox'y'z' par trois rotations successives :

<ul><li>La <a href="Pr%C3%A9cession" title="Précession">précession</a>, d'angle ψ autour de l'axe Oz, qui fait passer de Oxyz au référentiel Ouvz (en bleu dans l'image de gauche ci-dessus).</li></ul>

<ul><li>La <a href="Nutation" title="Nutation">nutation</a>, d'angle θ autour de l'axe Ou (ou ligne des nœuds), qui fait passer de Ouvz à Ouwz' (en vert).</li></ul>

<ul><li>La rotation propre, ou giration, d'angle ϕ autour de l'axe Oz', qui fait passer de Ouwz' au référentiel lié au solide Ox'y'z' (en rouge).</li></ul>

NB. L'axe Ou est porté par l'intersection des plans Oxy et Ox'y'.

Les coordonnées (x', y', z') d'un point dans le référentiel mobile Ox'y'z' sont reliées aux coordonnées (x, y, z) de ce même point dans le référentiel fixe Oxyz par la relation suivante<a href="#cite_note-4">[4]</a> :

<msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

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<mtr>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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<mrow>

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</mtable>

</mrow>

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</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{Oxyz}=A{\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}_{Ox'y'z'}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0022a9a7865e0412ecc9249f74cf3c15d9fa3119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:27.448ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{Oxyz}=A{\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}_{Ox'y'z'}}" loading="lazy"> avec la <a href="Matrice_de_passage" class="mw-redirect" title="Matrice de passage">matrice de passage</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos \psi \cos \varphi -\sin \psi \cos \theta \sin \varphi &-\cos \psi \sin \varphi -\sin \psi \cos \theta \cos \varphi &\sin \psi \sin \theta \\\sin \psi \cos \varphi +\cos \psi \cos \theta \sin \varphi &-\sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \theta \cos \varphi &-\cos \psi \sin \theta \\\sin \theta \sin \varphi &\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mtd>

<mtd>

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</mtr>

<mtr>

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</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos \psi \cos \varphi -\sin \psi \cos \theta \sin \varphi &-\cos \psi \sin \varphi -\sin \psi \cos \theta \cos \varphi &\sin \psi \sin \theta \\\sin \psi \cos \varphi +\cos \psi \cos \theta \sin \varphi &-\sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \theta \cos \varphi &-\cos \psi \sin \theta \\\sin \theta \sin \varphi &\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e9ca04832d68403adbd4975371db6149e52a2d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:84.705ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos \psi \cos \varphi -\sin \psi \cos \theta \sin \varphi &-\cos \psi \sin \varphi -\sin \psi \cos \theta \cos \varphi &\sin \psi \sin \theta \\\sin \psi \cos \varphi +\cos \psi \cos \theta \sin \varphi &-\sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \theta \cos \varphi &-\cos \psi \sin \theta \\\sin \theta \sin \varphi &\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-5">[5]</a>

Rappelons que cette matrice donne aussi verticalement les coordonnées des vecteurs unitaires <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {x'}},{\overrightarrow {y'}}{\overrightarrow {z'}}}">

<mover>

<msup>

</msup>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msup>

</msup>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msup>

</msup>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {x'}},{\overrightarrow {y'}}{\overrightarrow {z'}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95de1e19967bdd93278f217c1aef17d6a47a980d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.005ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {x'}},{\overrightarrow {y'}}{\overrightarrow {z'}}}" loading="lazy"> dans la base <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}{\overrightarrow {z}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}{\overrightarrow {z}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57c8eeae92e3e9c2e3972c85d9ab939885acbd17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.153ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle ({\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}{\overrightarrow {z}})}" loading="lazy">.<div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;">

<div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em">

On passe du référentiel Oxyz au référentiel Ouvz, par rotation d'angle ψ autour du troisième axe, donc la matrice de passage est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B={\begin{pmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

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</mtr>

<mtr>

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</mtd>

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<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B={\begin{pmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df0e58267603fe0dd741a6996de3e3a130b80792.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:27.451ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle B={\begin{pmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> .

On passe du référentiel Ouvz au référentiel Ouwz', par rotation d'angle θ autour du premier axe, donc la matrice de passage est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

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</mtd>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

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<mtr>

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</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65c686f4661ae2ebba33d069b1e3c28e5b5c78c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:26.608ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle C={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}" loading="lazy"> .

On passe du référentiel Ouwz' au référentiel Ox'y'z', par rotation d'angle ϕ autour du troisième axe, donc la matrice de passage est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e270901873a1486b5baf674a5d22b12813afc42e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:27.625ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> .

Donc A = BCD est la matrice de passage du référentiel Oxyz au référentiel Ox'y'z'.

En effectuant le produit des trois matrices on obtient bien le résultat annoncé.

</div><div class="clear" style="clear:both;"></div>

</div>Notons que le passage inverse s'écrit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}_{Ox'y'z'}=A^{T}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{Oxyz}}">

<msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

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</mtable>

</mrow>

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<mtr>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}_{Ox'y'z'}=A^{T}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{Oxyz}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acb11cbf1a25826cfc5c0212e2e25c1ff7cd8da4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:28.837ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}_{Ox'y'z'}=A^{T}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{Oxyz}}" loading="lazy">, où AT est la transposée de A, cette dernière étant <a href="Matrice_orthogonale" title="Matrice orthogonale">orthogonale</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Interprétation_par_composée_de_rotations">Interprétation par composée de rotations</h3></div>

La matrice A est aussi la matrice dans le référentiel fixe Oxyz de la rotation r transformant ce référentiel en Ox'y'z'. La décomposition de matrices A = BCD montre que cette rotation est la composée <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=r_{3}\circ r_{2}\circ r_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=r_{3}\circ r_{2}\circ r_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95efbc78f594eb13964d1bfd3fe1c7d1e2f86fff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.845ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r=r_{3}\circ r_{2}\circ r_{1}}" loading="lazy"> où

<ul><li>r1 est la rotation d'angle ϕ autour de Oz,</li>

<li>r2 est la rotation d'angle θ autour de Ox,</li>

<li>r3 est la rotation d'angle ψ autour de Oz.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Généralité_de_la_décomposition">Généralité de la décomposition</h3></div>

La donnée des deux référentiels Oxyz et Ox'y'z' permet de connaitre les angles d'Euler. Celui de nutation θ est l'angle entre Oz et Oz', l'axe Ou s'obtient comme perpendiculaire commune à Oz et Oz', et on obtient respectivement ψ et ϕ comme angles entre Ox et Ou et entre Ou et Ox'.

La matrice A ci-dessus est donc la matrice générale d'une rotation, et la décomposition <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=r_{3}\circ r_{2}\circ r_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=r_{3}\circ r_{2}\circ r_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95efbc78f594eb13964d1bfd3fe1c7d1e2f86fff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.845ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r=r_{3}\circ r_{2}\circ r_{1}}" loading="lazy"> prouve que le groupe des rotations d'axe passant par O est engendré par les rotations d'axes l'un de deux axes orthogonaux donnés passant par O.

En terme d'aéronautique, cela signifie qu'on obtient l'orientation quelconque d'un avion en utilisant deux des trois rotations : <a href="Roulis" title="Roulis">roulis</a> (d'axe la carlingue), <a href="Tangage" title="Tangage">tangage</a> (d'axe les ailes), et <a href="Lacet_(mouvement)" title="Lacet (mouvement)">lacet</a> (d'axe la verticale), par exemple roulis puis tangage puis roulis.

Autre conséquence : lorsqu'on manipule à la souris un objet visualisé à l'écran (vers le haut : rotation autour de l'horizontale, vers la droite : rotation autour de la verticale), on obtient toutes les orientations possibles de l'objet.

Nota : r est la rotation d'angle α autour de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {n}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/589d8abc2a0543f71bed700b758615e5fea08c06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {n}}}" loading="lazy"> où

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \alpha =\cos ^{2}\left({\frac {\varphi +\psi }{2}}\right)\cos \theta -\sin ^{2}\left({\frac {\varphi +\psi }{2}}\right),\,\cos {\frac {\alpha }{2}}=\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi +\psi }{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c2d306aeb59e732b11c85eb649cb3bb5222b22c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:70.671ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \cos \alpha =\cos ^{2}\left({\frac {\varphi +\psi }{2}}\right)\cos \theta -\sin ^{2}\left({\frac {\varphi +\psi }{2}}\right),\,\cos {\frac {\alpha }{2}}=\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi +\psi }{2}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}{\overrightarrow {n}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}{\overrightarrow {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/599dd53373eb9bd5104c34df8678341af763d249.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:7.89ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}{\overrightarrow {n}}}" loading="lazy"> a pour coordonnées <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\cos \left({\frac {\psi -\varphi }{2}}\right)\sin {\frac {\theta }{2}},\sin \left({\frac {\psi -\varphi }{2}}\right)\sin {\frac {\theta }{2}},\sin \left({\frac {\psi +\varphi }{2}}\right)\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\cos \left({\frac {\psi -\varphi }{2}}\right)\sin {\frac {\theta }{2}},\sin \left({\frac {\psi -\varphi }{2}}\right)\sin {\frac {\theta }{2}},\sin \left({\frac {\psi +\varphi }{2}}\right)\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95930c557f65da49a8b9db421bef0a0162f4e10d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:61.845ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left(\cos \left({\frac {\psi -\varphi }{2}}\right)\sin {\frac {\theta }{2}},\sin \left({\frac {\psi -\varphi }{2}}\right)\sin {\frac {\theta }{2}},\sin \left({\frac {\psi +\varphi }{2}}\right)\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}" loading="lazy">.

On obtient la première relation en écrivant que la trace de A est égale à 1 + 2 cos α.

La deuxième et la troisième deuxième s'obtiennent facilement en écrivant les <a href="Formule_d'Euler%E2%80%93Rodrigues" title="Formule d'Euler–Rodrigues">matrices d'Euler-Rodrigues</a> de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{3},r_{2},r_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{3},r_{2},r_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2610013d35c2119ed9a8adb689feaea22984096.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.377ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{3},r_{2},r_{1}}" loading="lazy"> et en effectuant leur produit.

Exemple : la rotation d'un tiers de tour autour de (1 , 1 , 1) de matrice <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13a4467823162f788cd1057a5d11e394a4087e6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:17.792ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> a pour angles d'Euler <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\varphi ,\theta ,\psi )=\left(\pi ,-{\pi \over 2},-{\pi \over 2}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\varphi ,\theta ,\psi )=\left(\pi ,-{\pi \over 2},-{\pi \over 2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1c0e5dbb5c46c6aa03930cd734587d5eaf10f83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.227ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle (\varphi ,\theta ,\psi )=\left(\pi ,-{\pi \over 2},-{\pi \over 2}\right)}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mécanique_du_solide">Mécanique du solide</h2></div>

On s'intéresse seulement ici à la description du mouvement du solide en rotation quelconque autour du point O, qui peut être un point fixe du solide dans le référentiel de référence <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Oxyz}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Oxyz}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be27c2ad2be5d640cfc2a530df87d9b7b4ebf615.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.347ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Oxyz}" loading="lazy"> ou le centre de masse. Les angles d'Euler sont choisis de façon à permettre une mémorisation simple de la construction du vecteur rotation instantané du solide, nécessaire à l'étude de la <a href="Cin%C3%A9matique_du_solide" class="mw-redirect" title="Cinématique du solide">cinématique du solide</a>. Le vecteur rotation instantané du solide est en effet donné par la simple somme :

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msup>

</msup>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\Omega }}={\dot {\psi }}\,{\vec {z}}+{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}+{\dot {\varphi }}\,{\vec {z'}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be028eda4c4801b72a38e9ce6efd6c2b1d980261.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.986ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\Omega }}={\dot {\psi }}\,{\vec {z}}+{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}+{\dot {\varphi }}\,{\vec {z'}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

où les vecteurs apparaissant dans le membre de droite sont les vecteurs unitaires des axes correspondants et les expressions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\psi }},\,{\dot {\theta }},\,{\dot {\varphi }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\psi }},\,{\dot {\theta }},\,{\dot {\varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/055b4d38b096ad2ab64754f86203ef5bdf7a1865.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.328ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\psi }},\,{\dot {\theta }},\,{\dot {\varphi }}}" loading="lazy"> sont respectivement les <a href="Vitesse_angulaire" title="Vitesse angulaire">vitesses angulaires</a> de précession, de nutation et de rotation propre. On remarquera que l'expression simple précédente utilise une base non orthogonale.

L'utilisation des angles d'Euler est très générale en mécanique et en astronomie, par exemple pour décrire le mouvement du <a href="Gyroscope" title="Gyroscope">gyroscope</a> : dans l'animation ci-contre, les vitesses de précession <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\psi }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\psi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c6912355df049856322d8d4d631156fa10f3a37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.596ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\psi }}}" loading="lazy"> et de rotation propre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\varphi }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92ffa1fdb663e8557bd7ebb66a095b54ba9f57e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.535ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\varphi }}}" loading="lazy"> sont constantes et la vitesse de nutation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\theta }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\theta }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f78124b2aea53527d3e053cbbdd9c7ded2c8f05f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.356ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\theta }}}" loading="lazy"> est nulle, l'angle de nutation restant constant.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Orientation_cristalline">Orientation cristalline</h2></div>

En <a href="Science_des_mat%C3%A9riaux" title="Science des matériaux">science des matériaux</a>, les angles d'Euler sont utilisés pour décrire l'<a href="Orientation_cristalline" title="Orientation cristalline">orientation cristalline</a> (orientation d'un <a href="Cristallite" title="Cristallite">cristallite</a> par rapport aux axes de l'échantillon), notamment dans le domaine de la <a href="Texture" class="mw-disambig" title="Texture">texture</a> (orientation préférentielle). Les angles sont alors en général<a href="#cite_note-7">[7]</a> notés (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{1},\Phi ,\varphi _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{1},\Phi ,\varphi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e2549abc1fe8a806b09d710e7b611addc9a2c15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.895ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{1},\Phi ,\varphi _{2}}" loading="lazy">) avec :

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{1}=\psi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8dae73481c0ceb7b88549749358f5bb95a2413be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.186ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{1}=\psi }" loading="lazy"> ;</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi =\theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2ecc5ea0000cf6a557a2261c13b29370c247344.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.867ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi =\theta }" loading="lazy"> ;</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{2}=\varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ed87f06fa344221d70d9a8a16cf53cfc346db80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.193ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{2}=\varphi }" loading="lazy">.</li></ul>

On utilise parfois une autre variante dans laquelle la seconde rotation (<a href="Nutation" title="Nutation">nutation</a>) se fait selon l'axe Ov au lieu de Ou ; les angles sont alors notés (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ,\Theta ,\Psi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ,\Theta ,\Psi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/671a205fb03e77437471c137b80fcd2909b7cbef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.362ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Phi ,\Theta ,\Psi }" loading="lazy">) sans que cela ait un rapport avec les notations des mécaniciens, ce qui n'est pas sans risque de confusion.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2></div>

<li id="cite_note-TailletVillainFebvre201830''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''angles_d'Euler-1"><a href="#TailletVillainFebvre2018">Taillet, Villain et Febvre 2018</a>, <abbr class="abbr" title="sub verbo (« à l'article »)">s.v.</abbr>angles d'Euler, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 30.

</li>

<li id="cite_note-Pérez2014<abbr_class="abbr_"_title="21"_><span_class="romain"_style="text-transform:lowercase;_font-variant:normal;">xxi</abbr>_et_275-2"><a href="#cite_ref-Pérez2014<abbr_class="abbr_"_title="21"_><span_class="romain"_style="text-transform:lowercase;_font-variant:normal;">xxi</abbr>_et_275_2-0">↑</a> <a href="#Pérez2014">Pérez 2014</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> <abbr class="abbr" title="21">xxi</abbr> et 275.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> « <a class="external text" href="https://fr.wiktionary.org/wiki/nutation"><cite style="font-style:normal;">Nutation</cite></a> », sur Wiktionnaire

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/meca/angleeuler.html"><cite style="font-style:normal;">Les angles d'Euler</cite></a> », sur Physique et simulations numériques, Faculté des Sciences exactes et naturelles, Université du Maine

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : latin">(la)</abbr> Leonhard Euler, « <cite style="font-style:normal" lang="la">Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile</cite> », Commentatio 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Acad. Sci. Petropolitanae 15,‎ <time>1770</time>, la "matrice" se trouve page 83 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1406&context=euler-works">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Problema+algebraicum+ob+affectiones+prorsus+singulares+memorabile&rft.jtitle=Commentatio+407+Indicis+Enestoemiani%2C+Novi+Comm.+Acad.+Sci.+Petropolitanae+15&rft.aulast=Euler&rft.aufirst=Leonhard&rft.date=1770&rft.pages=la+%22matrice%22+se+trouve+page+83&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngles+d%27Euler">

</li>

<li id="cite_note-Liss2-6"><a href="#cite_ref-Liss2_6-0">↑</a> Liss KD, Bartels A, Schreyer A, Clemens H, « <cite style="font-style:normal">High energy X-rays: A tool for advanced bulk investigations in materials science and physics</cite> », Textures Microstruct., <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 35, <abbr class="abbr" title="numéros">nos</abbr> 3/4,‎ <time>2003</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 219–52 (<a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1080/07303300310001634952">10.1080/07303300310001634952</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=High+energy+X-rays%3A+A+tool+for+advanced+bulk+investigations+in+materials+science+and+physics&rft.jtitle=Textures+Microstruct.&rft.issue=3%2F4&rft.au=Liss+KD%2C+Bartels+A%2C+Schreyer+A%2C+Clemens+H&rft.date=2003&rft.volume=35&rft.pages=219%E2%80%9352&rft_id=info%3Adoi%2F10.1080%2F07303300310001634952&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngles+d%27Euler">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> il s'agit de la notation adoptée par Bunge dans son ouvrage Texture analysis in materials science, une référence dans le domaine

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3></div>

<ul><li>[Lehning 2007] <a href="Herv%C3%A9_Lehning" title="Hervé Lehning"><abbr class="abbr" title="Hervé">H.</abbr> Lehning</a>, <cite style="font-style:normal">« Les angles d'Euler »</cite>, dans <abbr class="abbr" title="Hervé">H.</abbr> Lehning (<abbr class="abbr" title="sous la direction de">dir.</abbr>), <cite class="italique">Leonhard Euler : un génie des Lumières</cite>, Paris, Pôle, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « <abbr class="abbr" title="Bibliothèque">Biblioth.</abbr> Tangente » (<abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 29), <time class="nowrap" datetime="2007-05" data-sort-value="2007-05">mai 2007</time>, <abbr class="abbr" title="première">1re</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 1 <abbr class="abbr" title="vol."><abbr class="abbr" title="volume(s)">vol.</abbr></abbr>, 154, <abbr class="abbr" title="illustration(s)">ill.</abbr> et <abbr class="abbr" title="portrait(s)">portr.</abbr>, 17 × 24 <abbr class="abbr" title="centimètre">cm</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-2-8488-4066-6, <a href="EAN_13" title="EAN 13">EAN</a> 9782848840666, <a href="Online_Computer_Library_Center" title="Online Computer Library Center">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://worldcat.org/fr/title/470945066">470945066</a>, <a href="Biblioth%C3%A8que_nationale_de_France" title="Bibliothèque nationale de France">BNF</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb41041045n.public">41041045</a>, <a href="Syst%C3%A8me_universitaire_de_documentation" title="Système universitaire de documentation">SUDOC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sudoc.fr/11449309X">11449309X</a>), dossier <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 2, <abbr class="abbr" title="article(s)">art.</abbr> <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 8, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 64-65<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Leonhard+Euler&rft.atitle=Les+angles+d%27Euler&rft.place=Paris&rft.pub=P%C3%B4le&rft.edition=1&rft.stitle=un+g%C3%A9nie+des+Lumi%C3%A8res&rft.aulast=Lehning&rft.aufirst=%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%22Herv%C3%A9%22+%3EH.%3C%2Fabbr%3E&rft.date=2007-05&rft.pages=64-65&rft.tpages=1%C2%A0%3Cabbr+class%3D%22abbr%22+title%3D%22vol.%22%3E%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%22volume%28s%29%22+%3Evol.%3C%2Fabbr%3E%3C%2Fabbr%3E%2C+154&rft_id=info%3Aoclcnum%2F470945066&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngles+d%27Euler">.</li>

<li>[Pérez 2014] José-Philippe Pérez (avec la collaboration d'Olivier Pujol), <cite class="italique">Mécanique : fondements et applications</cite>, Paris, <a href="%C3%89ditions_Dunod" title="Éditions Dunod">Dunod</a>, hors <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr>, <time class="nowrap" datetime="2014-09" data-sort-value="2014-09">septembre 2014</time>, <abbr class="abbr" title="septième">7e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> (<abbr class="abbr" title="première">1re</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> <time>1984</time>), 1 vol., <abbr class="abbr" title="26">XXVI</abbr>-801, 17,5 × 24 <abbr class="abbr" title="centimètre">cm</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-2-10-071232-8, <a href="EAN_13" title="EAN 13">EAN</a> 9782100712328, <a href="Online_Computer_Library_Center" title="Online Computer Library Center">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://worldcat.org/fr/title/892897104">892897104</a>, <a href="Biblioth%C3%A8que_nationale_de_France" title="Bibliothèque nationale de France">BNF</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb43887529q.public">43887529</a>, <a href="Syst%C3%A8me_universitaire_de_documentation" title="Système universitaire de documentation">SUDOC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sudoc.fr/180751727">180751727</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.dunod.com/sciences-techniques/mecanique-fondements-et-applications-avec-320-exercices-et-problemes-resolus">présentation en ligne</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=9tB8BAAAQBAJ">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9canique&rft.place=Paris&rft.pub=Dunod&rft.edition=7&rft.stitle=fondements+et+applications&rft.aulast=P%C3%A9rez&rft.aufirst=Jos%C3%A9-Philippe&rft.date=2014-09&rft.tpages=%3Cspan+class%3D%22nowrap%22%3E1+vol.%3C%2Fspan%3E%2C+%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%2226%22+%3E%3Cspan+class%3D%22romain%22+style%3D%22text-transform%3Auppercase%22%3EXXVI%3C%2Fspan%3E%3C%2Fabbr%3E-801&rft.isbn=978-2-10-071232-8&rft_id=info%3Aoclcnum%2F892897104&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngles+d%27Euler">.</li>

<li>[Taillet, Villain et Febvre 2018] <abbr class="abbr" title="Richard">R.</abbr> Taillet, <abbr class="abbr" title="Loïc">L.</abbr> Villain et <abbr class="abbr" title="Pascal">P.</abbr> Febvre, <cite class="italique">Dictionnaire de physique</cite>, Louvain-la-Neuve, <a href="De_Boeck_Sup%C3%A9rieur" class="mw-redirect" title="De Boeck Supérieur">De Boeck Sup.</a>, hors <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr>, <time class="nowrap" datetime="2018"><abbr class="abbr" title="janvier">janv.</abbr> 2018</time>, <abbr class="abbr" title="quatrième">4e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> (<abbr class="abbr" title="première">1re</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> <time class="nowrap" datetime="2008-05" data-sort-value="2008-05">mai 2008</time>), 1 <abbr class="abbr" title="vol."><abbr class="abbr" title="volume(s)">vol.</abbr></abbr>, <abbr class="abbr" title="10">X</abbr>-956, <abbr class="abbr" title="illustration(s)">ill.</abbr> et <abbr class="abbr" title="figure(s)">fig.</abbr>, 24 <abbr class="abbr" title="centimètre">cm</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-2-8073-0744-5, <a href="EAN_13" title="EAN 13">EAN</a> 9782807307445, <a href="Online_Computer_Library_Center" title="Online Computer Library Center">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://worldcat.org/fr/title/1022951339">1022951339</a>, <a href="Syst%C3%A8me_universitaire_de_documentation" title="Système universitaire de documentation">SUDOC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sudoc.fr/224228161">224228161</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique">présentation en ligne</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=pjlFDwAAQBAJ">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="sub verbo (« à l'article »)">s.v.</abbr>angles d'Euler, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 30, <abbr class="abbr" title="colonne(s)">col.</abbr> 1-2<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Dictionnaire+de+physique&rft.place=Louvain-la-Neuve&rft.pub=De+Boeck+Sup.&rft.edition=4&rft.aulast=Taillet&rft.aufirst=%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%22Richard%22+%3ER.%3C%2Fabbr%3E&rft.au=Villain%2C+%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%22Lo%C3%AFc%22+%3EL.%3C%2Fabbr%3E&rft.au=Febvre%2C+%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%22Pascal%22+%3EP.%3C%2Fabbr%3E&rft.date=2018&rft.pages=30%2C+%3Cspan+class%3D%22nowrap%22%3E%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%22colonne%28s%29%22+%3Ecol.%3C%2Fabbr%3E%26nbsp%3B1-2%3C%2Fspan%3E&rft.tpages=1%C2%A0%3Cabbr+class%3D%22abbr%22+title%3D%22vol.%22%3E%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%22volume%28s%29%22+%3Evol.%3C%2Fabbr%3E%3C%2Fabbr%3E%2C+%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%2210%22+%3E%3Cspan+class%3D%22romain%22+style%3D%22text-transform%3Auppercase%22%3EX%3C%2Fspan%3E%3C%2Fabbr%3E-956&rft_id=info%3Aoclcnum%2F1022951339&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAngles+d%27Euler">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<ul><li><a href="Formule_d'Euler%E2%80%93Rodrigues" title="Formule d'Euler–Rodrigues">Formule d'Euler-Rodrigues</a></li>

<li><a href="Angles_de_Tait-Bryan" title="Angles de Tait-Bryan">Angles de Tait-Bryan</a></li>

<li><a href="Blocage_de_cardan" title="Blocage de cardan">Blocage de cardan</a></li>

<li><a href="Stabilisation_gyroscopique" class="mw-redirect" title="Stabilisation gyroscopique">Stabilisation gyroscopique</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://phyanim.sciences.univ-nantes.fr/Meca/Cinematique/euler1.php">Une animation des angles d'Euler</a></li></ul>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Portail de la physique </li> <li> Portail de la géométrie </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>